.com - Pengertian dan Notasi Integral. Integral merupakan salah satu topik dalam bidang studi matematika yang umumnya dibahas sehabis topik turunan atau differensial. Pada materi differensial, bentuk operasi matematika yang dilakukan yaitu memilih turunan dari suatu fungsi. Nah, pada topik integral, bentuk operasi yang dilakukan yaitu memilih fungsi awal dari suatu turunan fungsi. Misal f '(x) merupakan turunan fungsi dari f(x), maka yang dimaksud dengan operasi integral yaitu memilih fungsi orisinil dari f '(x). Fungsi orisinil tersebut yaitu f(x). Dengan kata lain, untuk memilih fungsi asal dari suatu turunan fungsi sanggup dipakai metode integral.
Salah satu ilustrasi sederhana yang sanggup menjelaskan pengertian dari integral contohnya proses membuka atau menutup tutup suatu toples. Jika pada awalnya toples berada dalam kondisi terbuka dan acara menutup tutup toples yaitu proses turunan, maka acara membuka tutup toples merupakan proses integral. Kegiatan membuka toples akan menghasilkan kondisi awal, yaitu ketika toples berada dalam kondisi terbuka.
Karena merupakan proses kebalikan dari turunan atau differensial, maka integral juga dikenal sebagai anti differensial. Integral atau anti differensial dilambangkan dengan simbol ∫ (dibaca integral atau anti differensial. Untuk menyatakan integral dari fungsi f(x) maka sanggup ditulis sebagai ∫ f(x) dx (dibaca integral f(x) terhadap dx).
Misal F(x) yaitu sebuah fungsi awal dan f(x) yaitu turunan dari fungsi F(x). Untuk memperoleh fungsi awal jikalau turunan fungsi diketahui, maka kita sanggup memakai bentuk operasi ∫ f(x) dx. Salah satu hasil dari proses inetgrasi tersebut yaitu ∫ f(x) dx = F(x).
Notasi ∫ disebut sebagai tanda integral dan notasi dx menyatakan variabel integrasi. Variabel integrasi merupakan variabel yang dijadikan patokan dalam proses tersebut. Misalnya sebuah fungsi mengandung variabel x maka bentuk integral dari fungsi itu umumnya dinyatakan dengan notasi dx. Sebaliknya, jikalau fungsi mengandung variabel y, maka umumnya dinyatakan dengan notasi dy, tergantung tujuan integrasinya.
Sebelumya telah dijabarkan bahwa notasi dx atau dy pada sebuah operas integral menyatakan variabel yang dipakai untuk integrasi. Variabel itu sanggup saja x, y, z, t dan sebagainya tergantung pada variabel yang dipakai dalam fungsi. Dalam proses integrasi, variabel tersebut sanggup saja mempunyai atau tidak mempunyai batas.
Berdasarkan ada tidaknya batas untuk variabel integrasi yang digunakan, secara umum integral sanggup dibedakan menjadi dua jenis, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral. Kedua jenis integral ini memakai notasi yang sama hanya saja terdapat perbedaan pada batas variabelnya. Untuk ludang keringh jelasnya simak pembagian terstruktur mengenai diberikut ini.
#1 Integral Tak Tentu
Integral tak tentu yaitu bentuk integral yang variabel integrasinya tidak mempunyai batas. Karena tidak mempunyai batas, maka hasil integrasi cenderung tidak niscaya sehingga hanya dinyatakan dalam bentu fungsi dan sebuah notasi yang menetapkan skor tertentu yang disimbolkan dengan aksara "c".
Jika f(x) yaitu turunan dari fungsi F(x) dan ∫ f(x) dx menyatakan anti differensial dari f(x) terhadap x, maka secara umum notasi integral tersebut sanggup ditulis sebagai diberikut:
Keterangan :
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi dalam variabel x yang akan diintegrasikan
dx = notasi variabel integrasi
c = tetapan integrasi.
Hasil integrasi dari integral tak tentu disebut tidak niscaya alasannya integral dari suatu fungsi biasanya tidah hanya ada satu fungsi saja. Oleh alasannya itu, hasil dari integral tak tentu selalu memakai notasi tetapan integral yang skornya beragam. Untuk ludang keringh jelasnya perhatikan ulasan diberikut ini.
Misal didiberikan sebuah fungsi awal, yaitu F(x) = 2x2. Turunan dari fungsi F(x) adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(2x2)/dx
⇒ f(x) = 4x
Integral atau anti differensial dari f(x) sanggup ditulis sebagai diberikut:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 4x dx
⇒ ∫ f(x) dx = 2x2
Hasil di atas bersama-sama tidak salah, namun masih kurang tepat. Kenapa? Karena fungsi yang turunannya sama dengan 4x bukan hanya 2x2 saja. Masih banyak fungsi lain yang jikalau diturunkan akan menghasilkan 4x, contohnya :
1). F(x) = 2x2 + 3 → turunanya f(x) = 4x
2). F(x) = 2x2 − 5 → turunanya f(x) = 4x
3). F(x) = 2x2 + c → turunanya f(x) = 4x
Dari ketiga teladan di atas, sanggup kita lihat bahwa ketiganya mempunyai turunan yang sama yaitu 4x. Itu artinya integral dari 4x tidak hanya 2x2 tetapi sanggup saja 2x2 + 3, atau 2x2 - 5, atau 2x2 + c. Dengan demikian, hasil dari integral di atas seharusnya ditulis menjadi:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 4x dx
⇒ ∫ f(x) dx = 2x2 + c
Dari hasil tersebut terdapat notasi berupa tetapan, yaitu c yang belum ditentukan skornya. Nilai dari c sanggup saja 1, 2, -3, dan sebagainya. Karena skornya belum ditentukan, maka integral tersebut disebut integral tak tentu.
#2 Integral Tentu
Berbeda dengan integral tak tentu yang tidak mempunyai batas untuk variabel integrasi, integral tentu merupakan jenis integral yang variabel integrasinya mempunyai batas. Batas untuk variabel integrasi biasanya disebut batas atas dan batas bawah. Bentuk integral tentu umumnya ditulis dengan notasi diberikut:
Keterangan :
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi dalam variabel x yang akan diintegrasikan
dx = notasi variabel integrasi
a = batas bawah variabel x
b = batas atas variabel x.
Karena variabel integrasi mempunyai batas atas dan batas bawah, maka hasil integrasi akan ludang keringh pasti. Integrasi tentu menghasilkan bilangan tertentu yang sesuai dengan batas-batasnya. Untuk ludang keringh jelasnya perhatikan teladan diberikut ini.
Contoh :
Tentukanlah hasil dari : 1∫2 4x dx.
Pembahasan :
Dik : a = 1, b = 2, f(x) = 4x
Dit : 1∫2 4x dx = ... ?
Dengan memakai integral tak tentu kita peroleh F(x), yaitu :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 4x dx
⇒ ∫ f(x) dx = 2x2 + c
⇒ F(x) = 2 x2
Berdasarkan rumus integral tentu, maka diperoleh :
⇒ a∫b f(x) dx = F(a) − F(a)
⇒ 1∫2 4x dx = F(2) − F(1)
⇒ 1∫2 4x dx = 2(2)2 − 2(1)2
⇒ 1∫2 4x dx = 2.4 − 2.1
⇒ 1∫2 4x dx = 8 − 2
⇒ 1∫2 4x dx = 6
Jika ditinjau dari bentu fungsinya, maka integral tak tentu dan integral tentu sanggup dibedakan menjadi beberapa bentuk menyerupai integral fungsi konstanta, integral fungsi polinom, integral fungsi pangkat, integral konstanti kali fungsi, integral penjumlahan fungsi, integral fungsi trigonometri, dan sebagainya.
Demikianlah pembahasan singkat mengenai pengertian dan jenis-jenis integral mencakup integral tak tentu dan integral tentu. Jika materi mencar ilmu ini berkhasiat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini.
A. Pengertian dan Notasi Integral
Berdasarkan pembagian terstruktur mengenai di atas, maka secara sederhana integral sanggup diartikan sebagai operasi balikan dari turunan atau differsensial. Pasangan operasi balikan ini bersama-sama sudah cukup umum kita ketahui contohnya operasi penjumlahan berbalikan dengan pengurangan, operasi perkalian berbalikan dengan pembagian, operasi pemangkatan berbalikan dengan penarikan akar, dan sebagainya.Salah satu ilustrasi sederhana yang sanggup menjelaskan pengertian dari integral contohnya proses membuka atau menutup tutup suatu toples. Jika pada awalnya toples berada dalam kondisi terbuka dan acara menutup tutup toples yaitu proses turunan, maka acara membuka tutup toples merupakan proses integral. Kegiatan membuka toples akan menghasilkan kondisi awal, yaitu ketika toples berada dalam kondisi terbuka.
Karena merupakan proses kebalikan dari turunan atau differensial, maka integral juga dikenal sebagai anti differensial. Integral atau anti differensial dilambangkan dengan simbol ∫ (dibaca integral atau anti differensial. Untuk menyatakan integral dari fungsi f(x) maka sanggup ditulis sebagai ∫ f(x) dx (dibaca integral f(x) terhadap dx).
Misal F(x) yaitu sebuah fungsi awal dan f(x) yaitu turunan dari fungsi F(x). Untuk memperoleh fungsi awal jikalau turunan fungsi diketahui, maka kita sanggup memakai bentuk operasi ∫ f(x) dx. Salah satu hasil dari proses inetgrasi tersebut yaitu ∫ f(x) dx = F(x).
Notasi ∫ disebut sebagai tanda integral dan notasi dx menyatakan variabel integrasi. Variabel integrasi merupakan variabel yang dijadikan patokan dalam proses tersebut. Misalnya sebuah fungsi mengandung variabel x maka bentuk integral dari fungsi itu umumnya dinyatakan dengan notasi dx. Sebaliknya, jikalau fungsi mengandung variabel y, maka umumnya dinyatakan dengan notasi dy, tergantung tujuan integrasinya.
B. Jenis-jenis Integral
Jika ditinjau menurut bentuk fungsinya, maka integral atau anti differensial bersama-sama sanggup dibedakan menjadi beberapa macam. Namun pada kesempatan ini edutafsi hanya akan membahas bentuk integral menurut batasan pada variabel integrasi.Sebelumya telah dijabarkan bahwa notasi dx atau dy pada sebuah operas integral menyatakan variabel yang dipakai untuk integrasi. Variabel itu sanggup saja x, y, z, t dan sebagainya tergantung pada variabel yang dipakai dalam fungsi. Dalam proses integrasi, variabel tersebut sanggup saja mempunyai atau tidak mempunyai batas.
Berdasarkan ada tidaknya batas untuk variabel integrasi yang digunakan, secara umum integral sanggup dibedakan menjadi dua jenis, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral. Kedua jenis integral ini memakai notasi yang sama hanya saja terdapat perbedaan pada batas variabelnya. Untuk ludang keringh jelasnya simak pembagian terstruktur mengenai diberikut ini.
#1 Integral Tak Tentu
Integral tak tentu yaitu bentuk integral yang variabel integrasinya tidak mempunyai batas. Karena tidak mempunyai batas, maka hasil integrasi cenderung tidak niscaya sehingga hanya dinyatakan dalam bentu fungsi dan sebuah notasi yang menetapkan skor tertentu yang disimbolkan dengan aksara "c".
Jika f(x) yaitu turunan dari fungsi F(x) dan ∫ f(x) dx menyatakan anti differensial dari f(x) terhadap x, maka secara umum notasi integral tersebut sanggup ditulis sebagai diberikut:
| ∫ f(x) dx = F(x) + c |
Keterangan :
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi dalam variabel x yang akan diintegrasikan
dx = notasi variabel integrasi
c = tetapan integrasi.
Hasil integrasi dari integral tak tentu disebut tidak niscaya alasannya integral dari suatu fungsi biasanya tidah hanya ada satu fungsi saja. Oleh alasannya itu, hasil dari integral tak tentu selalu memakai notasi tetapan integral yang skornya beragam. Untuk ludang keringh jelasnya perhatikan ulasan diberikut ini.
Misal didiberikan sebuah fungsi awal, yaitu F(x) = 2x2. Turunan dari fungsi F(x) adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(2x2)/dx
⇒ f(x) = 4x
Integral atau anti differensial dari f(x) sanggup ditulis sebagai diberikut:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 4x dx
⇒ ∫ f(x) dx = 2x2
Hasil di atas bersama-sama tidak salah, namun masih kurang tepat. Kenapa? Karena fungsi yang turunannya sama dengan 4x bukan hanya 2x2 saja. Masih banyak fungsi lain yang jikalau diturunkan akan menghasilkan 4x, contohnya :
1). F(x) = 2x2 + 3 → turunanya f(x) = 4x
2). F(x) = 2x2 − 5 → turunanya f(x) = 4x
3). F(x) = 2x2 + c → turunanya f(x) = 4x
Dari ketiga teladan di atas, sanggup kita lihat bahwa ketiganya mempunyai turunan yang sama yaitu 4x. Itu artinya integral dari 4x tidak hanya 2x2 tetapi sanggup saja 2x2 + 3, atau 2x2 - 5, atau 2x2 + c. Dengan demikian, hasil dari integral di atas seharusnya ditulis menjadi:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 4x dx
⇒ ∫ f(x) dx = 2x2 + c
Dari hasil tersebut terdapat notasi berupa tetapan, yaitu c yang belum ditentukan skornya. Nilai dari c sanggup saja 1, 2, -3, dan sebagainya. Karena skornya belum ditentukan, maka integral tersebut disebut integral tak tentu.
#2 Integral Tentu
Berbeda dengan integral tak tentu yang tidak mempunyai batas untuk variabel integrasi, integral tentu merupakan jenis integral yang variabel integrasinya mempunyai batas. Batas untuk variabel integrasi biasanya disebut batas atas dan batas bawah. Bentuk integral tentu umumnya ditulis dengan notasi diberikut:
|
Keterangan :
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi dalam variabel x yang akan diintegrasikan
dx = notasi variabel integrasi
a = batas bawah variabel x
b = batas atas variabel x.
Karena variabel integrasi mempunyai batas atas dan batas bawah, maka hasil integrasi akan ludang keringh pasti. Integrasi tentu menghasilkan bilangan tertentu yang sesuai dengan batas-batasnya. Untuk ludang keringh jelasnya perhatikan teladan diberikut ini.
Contoh :
Tentukanlah hasil dari : 1∫2 4x dx.
Pembahasan :
Dik : a = 1, b = 2, f(x) = 4x
Dit : 1∫2 4x dx = ... ?
Dengan memakai integral tak tentu kita peroleh F(x), yaitu :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 4x dx
⇒ ∫ f(x) dx = 2x2 + c
⇒ F(x) = 2 x2
Berdasarkan rumus integral tentu, maka diperoleh :
⇒ a∫b f(x) dx = F(a) − F(a)
⇒ 1∫2 4x dx = F(2) − F(1)
⇒ 1∫2 4x dx = 2(2)2 − 2(1)2
⇒ 1∫2 4x dx = 2.4 − 2.1
⇒ 1∫2 4x dx = 8 − 2
⇒ 1∫2 4x dx = 6
Jika ditinjau dari bentu fungsinya, maka integral tak tentu dan integral tentu sanggup dibedakan menjadi beberapa bentuk menyerupai integral fungsi konstanta, integral fungsi polinom, integral fungsi pangkat, integral konstanti kali fungsi, integral penjumlahan fungsi, integral fungsi trigonometri, dan sebagainya.
Demikianlah pembahasan singkat mengenai pengertian dan jenis-jenis integral mencakup integral tak tentu dan integral tentu. Jika materi mencar ilmu ini berkhasiat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini.
Advertisement